Spazio euclideo

In matematica, la nozione di spazio euclideo fornisce una generalizzazione degli spazi a due e a tre dimensioni studiati dalla geometria euclidea. Per ogni intero naturale n si dispone di uno spazio euclideo ad n dimensioni: questo si ottiene dallo spazio vettoriale ad n dimensioni arricchendolo con le nozioni che consentono di trattare le nozioni di distanza, lunghezza e angolo. È l'esempio "standard" di spazio di Hilbert reale a dimensione finita.

Indice Spazio Rn Definizione Basi di spazi vettoriali Struttura euclidea Generalizzazione sui complessi Topologia euclidea Invarianza dei domini Varietà e strutture esotiche Voci correlate
Spazio Rn Definizione

Sia R il campo dei numeri reali e sia n un numero naturale. Una n-upla di numeri reali è una sequenza (ossia un insieme ordinato) di n numeri reali. Lo spazio di tutte le n-uple di numeri reali forma uno spazio vettoriale di dimensione n su R, indicato con Rn. Le operazioni di somma e prodotto per scalare sono definite da

Basi di spazi vettoriali Per approfondire, vedi la voce base (algebra lineare).

Una base dello spazio Rn che presenta vari vantaggi è la sua cosiddetta base canonica

.

Un vettore arbitrario in Rn può dunque essere scritto nella forma

Lo spazio Rn è il prototipo di uno spazio vettoriale reale a dimensione n: infatti ogni spazio vettoriale V di dimensione n è isomorfo a Rn. Notiamo che non si impone un isomorfismo canonico: la scelta di un isomorfismo tra Rn e V è equivalente alla scelta di una base per V. In molte fasi dello sviluppo dell'algebra lineare gli spazi vettoriali a dimensione n vengono comunque studiati in astratto, perché molte considerazioni sono più semplici ed essenziali se svolte senza fare riferimento ad una base particolare.

Struttura euclidea

Lo spazio euclideo è più che un semplice spazio vettoriale. Per ottenere la geometria euclidea si deve poter parlare di distanze e angoli, iniziando con la distanza fra due punti e l'angolo formato da due rette o da due vettori. Il modo intuitivo per fare questo è l'introduzione di quello che viene chiamato prodotto scalare standard su Rn. Questo prodotto, se i vettori x e y sono riferiti alla base canonica definita sopra, è definito da

Lo spazio delle n-uple di numeri reali arricchito con il prodotto scalare, funzione che a due n-uple di reali x e y associa un numero reale, costituisce una struttura più ricca di Rn chiamata spazio euclideo n-dimensionale. Per distinguerlo dallo spazio vettoriale delle n-uple reali in genere viene denotato con En .

Il prodotto scalare permette di definire una "lunghezza" non negativa per ogni vettore x di En nel seguente modo

Questa funzione lunghezza soddisfa le proprietà richieste per una norma e viene chiamata norma euclidea o norma pitagorica su Rn. L'angolo (interno) θ fra due vettori x e y di En è quindi definito come

dove arccos è la funzione arcocoseno.

Con queste definizioni la base canonica dello spazio vettoriale Rn diventa una base ortonormale per lo spazio euclideo ottenuto arricchendolo con il prodotto scalare standard.

A questo punto si può usare la norma per definire una funzione distanza (o metrica) su Rn nel seguente modo

La forma di questa funzione distanza è basata sul teorema di Pitagora, ed è chiamata metrica euclidea.

Ogni spazio euclideo quindi costituisce un esempio (a dimensione finita) di spazio di Hilbert (v. a. spazio prehilbertiano), di spazio normato e di spazio metrico.

Va osservato che in molti contesti, lo spazio euclideo di n dimensioni viene denotato con Rn, dando per scontata la struttura euclidea. In effetti per molti fini applicativi la distinzione che abbiamo fatta non ha gravi conseguenze e la suddetta identificazione va considerata un abuso di linguaggio veniale. Infatti negli spazi euclidei si possono introdurre le nozioni di sottospazio e di trasformazione lineare senza complicazioni rispetto a quanto fatto per gli spazi vettoriali.

Osserviamo anche che ogni sottospazio vettoriale W di dimensione m (< n) di En è isometrico allo spazio euclideo Em, ma non in modo canonico: per stabilire una corrispondenza utilizzabile per dei calcoli è necessaria la scelta di una base ortonormale per W e questa, se in W non si trova alcun vettore della base canonica di En, non può servirsi di alcun elemento di tale base.

Generalizzazione sui complessi Per approfondire, vedi la voce Spazio prehilbertiano.

Accanto agli spazi euclidei reali si possono introdurre loro varianti sui numeri complessi, arricchendo lo spazio vettoriale n-dimensionale sul campo dei complessi con un cosiddetto prodotto interno hermitiano costituito da una forma sesquilineare.

In questo caso il prodotto scalare tra vettori viene definito con l'espressione:

La proprietà riflessiva di tale composizione diventa:

(x,y) = (y,x) *

e per la moltiplicazione per uno scalare si ha:

(x,λy) = λ * (x,y). Topologia euclidea

Dal momento che lo spazio euclideo è uno spazio metrico, lo si può considerare anche uno spazio topologico dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su En. Questa è detta topologia euclidea e si rivela equivalente alla topologia prodotto su Rn considerato come prodotto di n copie della retta reale R dotata della sua usuale topologia.

Con la "strumentazione" degli spazi vettoriali topologici gli spazi euclidei sono in grado da fornire gli ambienti nei quali sviluppare sistematicamente numerose nozioni dell'analisi matematica, della geometria euclidea, della geometria differenziale e della fisica matematica classica.

Invarianza dei domini

Un risultato importante per la topologia di Rn è l'invarianza dei domini di Brouwer . Ogni sottoinsieme di Rn (con la sua topologia del sottospazio), omeomorfo a un altro sottoinsieme aperto di Rn, è esso stesso aperto. Un'immediata conseguenza di questo è che Rm non è omeomorfo a Rn se m ≠ n un risultato intuitivamente "ovvio" ma che è difficile da dimostrare rigorosamente.

Varietà e strutture esotiche

Lo spazio euclideo è il prototipo di varietà topologica, e anche di varietà differenziabile. I due concetti coincidono in generale, tranne in dimensione 4: come mostrato da Simon Donaldson e da altri, è possibile assegnare a R4 delle "strutture differenziali esotiche", che rendono lo spazio topologico R4 non diffeomorfo allo spazio standard.

Voci correlate Geometria euclidea Prodotto scalare Spazio di Minkowski  ·   ·  Algebra lineare
Spazio vettoriale Applicazione lineare Base Teorema della dimensione Formula di Grassmann Teorema di Rouché-Capelli Rango Determinante
Diagonalizzabilità Autovettore e autovalore Polinomio caratteristico Polinomio minimo Forma canonica di Jordan
Prodotto scalare Forma bilineare Spazio euclideo Base ortonormale Gram-Schmidt Forma hermitiana Teorema spettrale

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