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In matematica, una sfera unitaria è l' insieme dei punti che distano 1 da un punto detto centro. Una palla è la regione racchiusa dalla sfera unitaria. Questa nozione è usata nello spazio euclideo e più in generale in qualsiasi spazio metrico.
In uno spazio euclideo, "la" sfera unitaria e "la" palla unitaria sono quelle aventi come centro l'origine. Ogni altra sfera può essere trasformata in una sfera unitaria con una combinazione di traslazioni e omotetie . In questo modo molte proprietà di una sfera possono essere studiate (senza perdita di generalità) su una sfera unitaria.
Indice Sfera unitaria nello spazio euclideo Formule generali per l'area e il volume Palle unitarie in spazi vettoriali normati Commenti Generalizzazione agli spazi metrici Voci correlateSfera unitaria nello spazio euclideo
Nello spazio euclideo con n dimensioni, la sfera unitaria è l'insieme di tutti i punti che soddisfano l'equazione
e la palla racchiusa è l'insieme dei punti che soddisfa la disuguaglianza
Formule generali per l'area e il volume Per approfondire, vedi la voce Ipersfera.Il volume di una palla unitaria n-dimensionale nello spazio euclideo, e l'area della superficie della sfera unitaria, appaiono in molte formule importanti dell'analisi matematica. L'area della superficie della sfera in n dimensioni, spesso denotata in letteratura con ωn, può essere espressa con l'uso della funzione gamma:
.Il volume della palla unitaria è ωn / n.
Palle unitarie in spazi vettoriali normati Sfere unitarie sul piano associate a diverse norme .Più precisamente, la palla unitaria aperta in uno spazio normato V, con la norma , è
.essa è l'interno della palla unitaria chiusa di (V,||·||),
.L'ultima è l'unione disgiunta dei precedenti e del loro bordo comune, la sfera unitaria di (V,||·||),
. CommentiLa forma della palla unitaria è interamente dipendente dalla scelta della norma; potrebbe avere 'spigoli', e per esempio assomigliare a n, nel caso della norma l∞ in Rn. La palla rotonda si ottiene nello spazio euclideo dotato della norma usuale; il suo contorno è quello che comunemente si indica con sfera unitaria.
Generalizzazione agli spazi metriciTutte e tre le definizioni sopra possono essere semplicemente generalizzate agli spazi metrici, con la scelta di un'origine. Tuttavia, considerazioni topologiche (punti interni, chiusara, bordo) non si applicano necessariamente nella stessa maniera (per esempio negli spazi ultrametrici, tutte e tre sono simultaneamente insiemi aperti e chiusi), e la sfera unitaria potrebbe essere vuota in alcuni spazi metrici.
Voci correlate Cerchio unitario Sfera Palla Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematicaPalla unitaria
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