Funzione continua

Le curve in rosso e in blu sono funzioni continue, la curva in verde non lo è

Quello di continuità di una funzione è un concetto basilare della matematica moderna. Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate; la definizione più generale, dalla quale tutte le altre si possono far discendere, viene data nel contesto della topologia.

Indice Idea intuitiva Continuità in analisi Continuità a sinistra e a destra Continuità per funzioni di più variabili reali Continuità in geometria metrica Continuità in topologia Esempi Proprietà delle funzioni continue Spazio delle funzioni continue Voci correlate
Idea intuitiva

L'idea intuitiva che sta dietro alla nozione matematica di funzione continua è quella di una funzione f(x) per cui a variazioni sempre più piccole di un punto x del dominio corrispondono variazioni sempre più piccole dell' immagine f(x).

Talvolta si dice che una funzione continua è tale per cui se ne può tracciare il grafico senza mai staccare la matita dal foglio, ma questo può essere fuorviante: è vero infatti che il grafico di una funzione continua (nel senso intuitivo appena descritto e nel senso matematico che verrà esplicitato più avanti) è " connesso " e non presenta "salti", tuttavia in generale il grafico può avere una struttura talmente complessa che è umanamente impossibile disegnarlo, come nel caso della funzione di Cantor o di sin(1 / x).

Continuità in analisi

Nel caso di funzioni con dominio e codominio nell'insieme dei numeri reali si può dare una definizione di funzione continua connessa con il concetto di limite di una funzione. Dato un punto reale x0 nell'insieme di definizione di una funzione f, essa si definisce continua in x0 se il suo limite per x tendente a x0 coincide con il suo valore in x0, ovvero con f(x0). In simboli:

In alcuni casi si esprime questo fatto dicendo che l'operazione di limite in x0 commuta con la funzione f:

Questa immagine evidenzia che l'immagine dell'intorno azzurro di a è contenuto nell'intorno rosso dell'immagine b=f(a). La funzione non è invece continua in c poiché l'intorno giallo del punto d=f(c) non potrà mai contenere interamente l'immagine di un intorno del tipo in verde di c

Tale espressione ha un senso se è possibile l'operazione di limite in x0, cioè se x0 è un punto di accumulazione per il dominio di f. Se ciò non è possibile, cioè x0 è isolato nel dominio, allora f risulta continua per quella che si dice una "verità vuota" (in inglese vacuous truth). Tale è il caso, ad esempio, delle successioni , definite sull'insieme dei numeri naturali, che contiene tutti punti isolati. In questo caso però la nozione di continuità perde di interesse, proprio per il fatto di essere in un certo senso banale, e non si parla mai di successioni continue.

Esplicitando il concetto di limite la definizione di continuità si può dunque formulare nel seguente modo:

Una funzione f a valori reali è continua in x0 se ogni intorno di f(x0) include l'immagine di un intorno di x0.

ovvero:

Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x0|<δ implica |f(x)-f(x0)|<ε

Tale definizione è stata usata per la prima volta da Cauchy e viene talvolta detta definizione epsilon-delta.

Una formulazione equivalente, data da Heine , si avvale del concetto di limite di una successione e viene detta continuità per successioni:

Una funzione f a valori reali è continua in x0 se per ogni successione xn a valori nel dominio della funzione e convergente a x0 la successione f(xn) converge a f(x0).

Dato poi un sottoinsieme A di R su cui è definita f(x), si dice che f è continua su A se è continua in ogni punto di A e si scrive f ∈ C(A) (o C0(A)).

Continuità a sinistra e a destra Una funzione continua a destra

Una funzione non continua può comunque soddisfare proprietà più deboli, cioè ad esempio essere continua se ristretta alle sole x "a destra" di x0, cioè maggiori di x0. In simboli:

dove il limite è inteso solo come limite destro . f in questo caso si dice continua a destra in x0.

Analogamente, se vale

dove il limite stavolta è un limite sinistro, f si dice continua a sinistra in x0.

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Continuità per funzioni di più variabili reali

Tutte le definizioni date si generalizzano immediatamente al caso di funzioni da Rn in Rm estendendo a tali spazi la nozione di limite di una funzione, di intorno , di successione o di distanza, che nel caso unidimensionale è indotta dal modulo e nel caso di uno spazio euclideo n-dimensionale è indotta dalla norma euclidea. Non si estende invece in più dimensioni il concetto di continuità "a destra" o "a sinistra", semplicemente perché nel piano o nello spazio non esiste una "destra" o una "sinistra".

Per funzioni di più variabili reali si definisce anche una condizione più debole: una funzione si dice continua separatamente in un punto rispetto ad una delle variabili xi se è continua (nel senso suddetto) la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro xi, fissando tutte le altre costanti al valore assunto nel punto in esame.

Continuità in geometria metrica

Si può dare una definizione di continuità anche in un contesto più astratto come quello di uno spazio metrico. Tale definizione risulta equivalente a quelle precedenti, vedendo R e Rn come spazi con la distanza indotta dalle loro norme euclidee.

Dati due spazi metrici (X,d1) e (Y,d2) e x un punto di X, una funzione si dice continua in x se ogni palla di f(x0) include l'immagine di una palla di x0. La funzione f si dice continua (senza ulteriori specificazioni) se è continua in ogni punto di X.

Esplicitando la formula, arriviamo alla condizione

Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che d1(x,x0)<δ implica d2(f(x),f(x0))<ε

Come si vede, questa definizione è molto simile alla definizione di Cauchy, dove alla funzione modulo è stata sostituita la generica d.

Continuità in topologia

Infine, una definizione ancora più generale di continuità equivalente alle precedenti e propria della topologia è la seguente.

Dati due spazi topologici X e Y e x un punto di X, una funzione si dice continua in x se la controimmagine di ogni intorno di f(x) è un intorno di x. La funzione f si dice continua (senza ulteriori specificazioni) se è continua in ogni punto di X.

Si può dimostrare che una funzione è continua (rispetto alla definizione appena data) se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X. Infatti, se vale la proprietà appena enunciata e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, possiamo avere due casi:

la controimmagine di M è l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed è quindi un aperto, M contiene un punto f(x), è quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine è un intorno di X, quindi un aperto.

Una funzione continua è sempre continua per successioni (dove la continuità per successioni è data esattamente allo stesso modo che nel caso di funzioni reali), ma al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio X è uno spazio sequenziale, come sono gli spazi primo-contabili e dunque in particolare gli spazi metrici: per la maggior parte dei casi, dunque, le due definizioni si possono considerare equivalenti.

Esempi

Sono esempi di funzioni continue:

Le funzioni costanti f(x) = c La funzione identità (da uno spazio topologico X allo stesso spazio con la stessa topologia) Le funzioni che associano ad una coppia di numeri (x,y) la somma x+y, il prodotto xy o il rapporto x/y sono continue nel loro insieme di definizione in R2. Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei Le funzioni espresse da polinomi La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nel suo insieme di definizione Le funzioni seno e coseno . La funzione valore assoluto è continua (ma non derivabile in x=0) La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale La curva di Peano: una curva piana che ricopre l'intero quadrato

Sono esempi di funzioni non continue:

La funzione indicatrice di un sottoinsieme proprio di R è discontinua sulla frontiera dell'insieme La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto Proprietà delle funzioni continue Chiusura per composizione: la classe delle funzioni continue è chiusa rispetto all'operazione di composizione di funzioni , ovvero la funzione h(x) = f(g(x)) ottenuta componendo due funzioni continue f(x) e g(x) è ancora una funzione continua. Una conseguenza importante è che se siamo nell'insieme R dei numeri reali e se f e g sono continue in x0 allora (se sono continue. Si noti che l'affermazione inversa non è, in generale, verificata. Se la somma di due funzioni è continua, non è detto che entrambi gli addendi siano funzioni continue. Permanenza del segno: se una funzione ha valori in R, è continua in un punto del suo dominio x0 con f(x0) > 0 allora esiste un intorno U(x0) tale che f(x) > 0 in tutti i punti dell'intorno. Preservazione della connessione: l'immagine di un insieme connesso mediante una funzione continua è ancora un insieme connesso. In particolare vale il Teorema dei valori intermedi: se è continua allora f assume tutti i valori compresi fra f(a) e f(b). Come conseguenza si ha il seguente Teorema di Bolzano: Sia continua. Se allora esiste almeno un tale che f(x0) = 0. Preservazione della compattezza: l'immagine di un insieme compatto mediante una funzione continua è ancora un insieme compatto. Come conseguenza si ha il Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto K assume massimo e minimo in K. In particolare se è continua allora esistono tali che: Criterio di invertibilità : Una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo è invertibile in tale intervallo. Continuità delle funzioni inverse: Se è continua e biiettiva, anche la funzione inversa f -1 è continua. L'implicazione non vale in generale per le funzioni la cui immagine non è un intervallo: un controesempio è dato dalla funzione che manda iniettivamente l'intervallo aperto (0,1) in una curva piana a forma di "8" (una lemniscata). Continuità delle primitive: Una funzione continua ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua. Spazio delle funzioni continue

L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato A e a valori reali

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per f e g in tale insieme

e per α numero reale

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su A e viene indicato con C(A,R).

Se il dominio A è compatto (e quindi per tutte le funzioni in C(A,R) vale il teorema di Weierstrass) nello spazio C(A,R) può essere definita una norma ponendo:

detta norma uniforme o norma del sup. La coppia costituita dallo spazio C(A,R) e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

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